極限 x →0　（e^ax -1)/x

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{ax}-1}{x}=a}$

■導出

●${\displaystyle a\ne 0}$ のとき

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{log\left(1+x\right)}{x}=1}$ の両辺を ${\displaystyle a}$ で割る．

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{log\left(1+x\right)}{ax}=\frac{1}{a}}$

${\displaystyle {\left(1+x\right)}^{\frac{1}{a}}=e^t\to x=e^{at}-1}$ とおくと，

${\displaystyle x\to 0}$  のとき ${\displaystyle t\to 0}$  となり

${\displaystyle \underset{t\to 0}{lim}\frac{log{e}^t}{e^{at}-1}=\frac{1}{a}}$

${\displaystyle \underset{t\to 0}{lim}\frac{tloge}{e^{at}-1}=\frac{1}{a}}$

${\displaystyle \underset{t\to 0}{lim}\frac{t}{e^{at}-1}=\frac{1}{a}}$

よって，（両辺の逆数をとり， t を x に書き換える）

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{ax}-1}{x}=a}$

となる．

●${\displaystyle a=0}$のとき

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{0\cdot x}-1}{x}}$${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^0-1}{x}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-1}{x}}$${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{0}{x}}$${\displaystyle =0=a}$

となる．

 

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最終更新日： 2026年5月9日